Сергей Аракчеев (saarak) wrote,
Сергей Аракчеев
saarak

Categories:

Олимпиада-2

В связи с поступившими просьбами выкладываю предисловие и приложения из упомянутой в предыдущем посте рукописи.

Предисловие

 

Студенческие математические олимпиады — дело уже не новое. Тем более странно для автора, что до сих пор нет серьезных изданий, обобщающих опыт их проведения именно в высших технических учебных заведениях. Известные книги В.А.Садовничего с соавторами [1,2] при всем их значении полезны прежде всего для студентов, изучающих математику как специалисты. По достаточно очевидным причинам (подробнее, впрочем, см. Приложение II) большая часть их содержания бесполезна для тех, кто хочет организовать олимпиаду во втузе. Существует, правда, великое множество изданий малого объема, выпущенных в различных вузах на основе внутренних олимпиад и имеющих преимущественно внутреннее же распространение. Некоторые из этих изданий (см. список литературы в конце Предисловия) известны автору и использовались им. Он и сам издавал для использования в своем вузе книги [3,4].

Впрочем, не в традиции сборников задач прослеживать и снабжать ссылками происхождение всех задач. Во многих случаях это невозможно как за давностью лет, так и потому, что задачи постоянно видоизменяются, так и потому, наконец, что многие задачи (а в особенности идеи их составления), кочуя из олимпиады в олимпиаду, из сборника в сборник, утратили авторство и стали «народными». Однако мы старались по возможности не менять оригинальные формулировки задач, предлагавшихся на различных олимпиадах.

Автор, разумеется, не представил все задачи, попавшие в поле его зрения за те 20 с лишним лет, что он занимается олимпиадами. Слово «избранные» в названии книги выражает суть дела: далеко не все задачи, по мнению автора, достойны увековечения. Впрочем, он включил практически все задачи, предлагавшиеся участникам олимпиад НИИЖТа — СГУПСа в 1977 — 1999 годах. Подробнее о принципах, руководивших автором при отборе задач — в Приложении II. В Приложениях также сделана попытка обобщения опыта и методики проведения математических олимпиад, ответа на вопрос: «что такое олимпиадная задача?».

После Предисловия даются «Советы студентам», которые захотят работать с книгой самостоятельно.

Основу книги составляют более 1000 задач, разбитых на 17 глав в соответствии с более или менее стандартной программой курса математики втуза. Это позволяет использовать материал книги не только во время олимпиад, но и в учебном процессе — прежде всего для более способных и «продвинутых» студентов, которым могут быть скучны стандартные задачи. Внутри каждой главы автор попытался сгруппировать задачи как по сходным приемам решения (в порядке повышения сложности), так и по математическому содержанию. Так, главу «Векторная алгебра» можно было бы разбить на подглавки: «Геометрическая теория векторов», «Координаты вектора», «Скалярное, векторное и смешанное произведения». Автор не счел нужным произвести такое деление во всех главах, да и не всегда это так просто.

Книга содержит также раздел «Ответы» (более или менее краткие указания к решению в среднем каждой второй задачи).

Разумеется, такую работу нельзя было совершить в одиночку. Автор благодарен прежде всего профессору Ю.И.Соловьеву — заведующему кафедрой, на которой он работал с 1976 по 2000 год, и сотрудникам кафедры Н.И.Антонову, И.Ф.Пинелису, А.Г.Пьяных, Ю.А.Чиркунову.

 

Литература

 

1.        В.А.Садовничий, А.С.Подколзин. Задачи студенческих олимпиад по математике. М., «Наука», 1978.

2.        В.А.Садовничий, А.А.Григорьян, С.В.Конягин. Задачи студенческих математических олимпиад. М.,  МГУ, 1987.

3.        Нестандартные задачи по курсу высшей математики (отв. ред. С.А.Аракчеев). Новосибирск, НИИЖТ, 1986.

4.        С.А.Аракчеев, И.Ф.Пинелис, А.Г.Пьяных. Задачи математических олимпиад НИИЖТа 1982 — 1988 гг. Новосибирск,  НИИЖТ, 1990.

5.        В.И.Рожков, Г.А.Курдеванидзе, Н.Г.Панфилов. Сборник задач математических олимпиад. М.,  УДН, 1987.

6.        В.Н.Сергеев. Сборник олимпиадных задач по высшей математике. Омск, ОмПИ, 1975.

7.        Избранные задачи олимпиад по математике для студентов МИИТа (отв. ред. В.Н.Тростников). М., МИИТ, 1981.

8.        А.И.Корнилов, Ю.К.Оленникова, Д.В.Аминов. Сборник задач студенческих математических олимпиад. Ярославль, ЯГТУ, 1997.

9.        О.Н.Чащин, В.Г.Чередниченко. Задачи математических олимпиад. Новосибирск, СибУПК, 1998.

10.     Математические олимпиады в Свердловском институте народного хозяйства. Свердловск, СИНХ, 1984 (вып.1), 1990 (вып.2).

 

 

Приложения

 

I. Цель и организация внутривузовской олимпиады

 

Речь пойдет об олимпиаде по математике в обыкновенном техническом или экономическом ВУЗе, рассчитанной на массовое участие «обычных» студентов. Целью такой олимпиады не может (как иногда считают) быть «пробуждение в студентах интереса к изучению математики в дополнительном объеме». Такая цель, по нашим наблюдениям, не достигается. За наш многолетний опыт мы знаем буквально единичные случаи, когда победитель олимпиады брался изучать математику всерьез и в конце концов достигал ученой степени (не по математике!). Очевидно, такой студент занялся бы наукой и без олимпиады. Поэтому олимпиада, по нашему мнению, есть только шаг в цепи мероприятий, призванных выявить студентов, способных к творческому мышлению, и обратить на них внимание специальных кафедр. Важно здесь то, что математическая олимпиада бывает для первокурсников первым таким массовым мероприятием. Победители могут прийти к выводу, что они способны на нечто большее, чем успешно сдавать сессию.

Итак, главным в организации олимпиады мы считаем создание праздника математики. Отсюда частные цели:

путем предварительной агитации обеспечить как можно большее число участников, ни в коем случае не принуждая никого к этому участию. Скажем, мы никогда не устанавливаем норм участия от групп и потоков и не требуем составлять команды из определенного числа участников (но и не запрещаем стихийное образование команд). На примерах задач прошлых лет мы показываем, что решить 3 — 4 из них доступно среднему студенту. Желательно, чтобы в этой агитации участвовали все преподаватели кафедры в своих группах и потоках. Как показывает опыт, это существенно эффективней обезличенных объявлений в многотиражке, по институтскому радио и на стенде у кафедры (хотя мы не пренебрегаем и этими формами). Чем больше мы привлекли участников, тем больше вероятность того, что мы не упустили возможных победителей;

создать во время олимпиады (обычно 3 астрономических часа) обстановку, ничем не напоминающую экзамен или контрольную работу. Каждый участник волен досрочно покинуть аудиторию. Разрешается пользоваться любыми материалами: конспекты, учебники, справочники (разумеется, это налагает особые требования к составлению задач). Каждый имеет право советоваться с соседом, хотя мы обычно заранее предупреждаем, что оригинальные решения будут оцениваться выше. Как правило, это оказывается излишним: победители работают в одиночку, им так интереснее. Впрочем, нередко призерами (но не первыми!) становятся команды — это тоже допускается. Конечно, в условиях такой свободы нельзя избежать того, что решение простейших задач оказывается одинаковым на всю аудиторию — ну и пусть, все равно не эти задачи определяют победителей;

после олимпиады как можно шире афишировать имена победителей, обеспечить их премирование как ректоратом, так и деканатами.

Олимпиада проводится в один день (в начале весеннего семестра) для студентов всех факультетов и специальностей, но с разделением на перво- и второкурсников. Всем выдаются размноженные экземпляры задач. После нескольких лет экспериментов мы пришли к выводу о ненужности  указания предварительных баллов. Во-первых, задачи и так расположены в порядке возрастания трудности. Во-вторых, довольно часто «априорные» баллы не согласуются с итогами работы участников над задачами. В связи с этим проверка решений проводится по следующей схеме.

Первый этап — выявляем, кто из участников решил какие задачи и на сколько процентов. При этом удобно все решения оценивать, скажем, по трехбалльной шкале. Составляется таблица, из которой сразу видна не только сравнительная сложность задач по результатам участников, но и степень их самостоятельности в работе (в последние годы, естественно, вся работа над таблицей проводится на экране компьютера).

Второй этап — для каждой задачи устанавливается окончательный балл, присуждаемый за полное ее решение (обычно в диапазоне от 2 до 10 баллов). В литературе и по опыту различных олимпиад известны многочисленные формулы для вычисления этих баллов. Тем не менее мы считаем, что способ «на глазок» — самый лучший. Все баллы в таблице пересчитываются по новой шкале (удобно при этом работать над столбцами таблицы, т.е. разбираться до конца с каждой отдельной задачей). При этом присуждаются и дополнительные баллы — за красоту и оригинальность решения, за единственное решение трудной задачи или даже за наиболее плодотворную, пусть и не доведенную до конца, идею решения. Баллы, полученные на этом этапе, дальнейшему изменению не подлежат.

Третий этап — подсчет сумм баллов «по строкам» и выявление победителей. При большом числе участников победителей также будет много. Тем, кто набрали близкие суммы баллов, присуждается одно и то же место (поэтому мы не в силах заранее объявить, сколько у нас будет, скажем, первых мест). Кроме того, обычно дополнительно выявляются «лучшие математики» на каждом факультете, даже если они не попали в число призеров. Полная таблица результатов вывешивается у кафедры рядом с плакатом: «Поздравляем победителей!». Краткие резюме с указанием имен победителей представляются в ректорат и в деканаты.

II. Что такое олимпиадная задача?

 

Главным отличием втузовского курса математики от университетского является даже не уменьшенное во много раз количество «часов», а принципиально иная структура курса, направленного не «внутрь» математики, а практически исключительно на решение прикладных задач. Наши студенты не имеют возможности овладеть основными для студента-математика понятиями (структура действительной прямой, компактность, равномерная непрерывность, «эпсилон-дельта» техника, аксиоматика линейных и топологических пространств и т.д.) — даже если эти понятия упоминаются лектором. Начинающий преподаватель, получивший «классическое» математическое образование, становится в тупик: какие же задачи им можно дать? Данный сборник есть, в частности, попытка ответа на этот вопрос.

Попытаемся сформулировать требования к составителям задач.

1. Решение задач должно опираться на базисные знания студентов по основам преподаваемых им курсов, без излишних подробностей (например, можно использовать понятие выпуклости графика, но не следует требовать знание наизусть формулы кривизны).

В последние годы мы наблюдаем рост  разнообразия учебных программ по различным специальностям и вообще номенклатуры специальностей. В частности, в нашем ВУЗе значительно различаются программы по общетехническим, экономическим специальностям, а также имеются группы усиленной математической подготовки, причем, что замечательно, на олимпиаде эти группы не выделяются, почему мы и не считаем необходимым проводить для них специальные олимпиады по «усиленной» программе. В результате приходится избегать задач по разделам, знакомым не всем студентам (приходится исключать, например, даже понятие векторного произведения). Разделы же, знакомые всем, должны быть представлены. Отсюда — сравнительно большое по сравнению со школьными олимпиадами количество задач (не менее восьми — десяти). В последние годы мы стали также активно применять задачи по «школьной» математике или даже «чисто логические» задачи, требующие для решения только приложения здравого смысла:

Доказать, что в любой группе из 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Показать, что для 5 человек это не так.

Кстати, все задачи, приведенные в качестве примеров, вы можете найти выше, в соответствующих главах, но автор счел неудобным для читателя, если он будет давать только ссылки на номера задач.

2. Задачи должны значительно различаться по сложности — от «почти стандартных» до достаточно сложных (прежде всего с логической точки зрения), чтобы, во-первых, никто не ушел «с нулем», а во-вторых, лучшие действительно были выявлены.

Наиболее простые задачи, с которых начинается задание, должны не только убедить каждого студента, что ему по силам эти задачи решить, но в идеале вызвать у него улыбку и создать хорошее настроение:

Пастух, которому вчера исполнилось m лет, пасет n коров. Он сосчитал в уме, что 3n(2n+5)-m(n+4)=1 . Сколько лет пастуху?

Вот пример  «допустимой» трудной задачи, которую на олимпиаде никто не решил и даже не пытался:

Функция f(x) определена на всей оси и для  любых различных x,y  |f(x)-f(y)|<|x-y| . Доказать, что если f(f(f(0)))=0, то f(0)=0.

Раз в три-четыре года появляется студент, справляющийся с подобной задачей; он-то нам и нужен для дальнейшей работы.

3. Задачи должны быть разнообразными как по математическому содержанию, так и по приемам решения: одни предпочитают рисовать:

Построить линию  x4 -x2=y2-y;

другие — вычислять:

Найти  y(1998) , если y=e-xsin(sqrt(3)x);

третьи — решать задачи с «жизненным» содержанием:

Один робот стоимостью 2000 долларов выполнит всю работу за 1000 дней. Сколько надо купить роботов для выполнения всей работы с наименьшими затратами, если технику-контролеру надо платить 50 долларов в день независимо от числа роботов?

и т.п.

4. Задача  должна быть нестандартной (это слово вообще точнее выражает суть дела, чем «олимпиадная»). Во-первых, она не должна поддаваться тому, кто — пусть на пятерку — вызубрил материал. Это вовсе не значит, что задача действительно трудная. Во-вторых, задача в идеале должна самой формулировкой вызывать интерес, то есть быть нестандартной по форме:

Решить уравнение  x=1/(x+1/(x+1/(x+...))).

 

Составить функцию двух переменных, область определения которой состоит из прямой и точки.

Для каких функций u, v справедлива «формула»  (u/v)'=u'/v'?

Какую форму имеет область пространства, в которой лунное тяготение превосходит земное?

Такое удается не всегда, но коллективными усилиями работников разных ВУЗов банк оригинальных задач пополняется.

5. Многие не придают значения категорическому императиву: задача должна формулироваться кратко. Ради краткости мы нередко идем на то, что придиры назовут неопределенностью формулировки:

В пещере живут сороконожки и трехголовые драконы — всего  14 голов и 330 ног. Сколько ног у дракона?

Неужели надо при этом объяснять, что ног у всех сороконожек именно по 40, а у драконов — поровну?

Нам известны многочисленные примеры, когда легкая в принципе задача не решалась только из-за громоздкости формулировки. Не могу не привести экстремальный, на мой взгляд, пример. Вот несложная задача из нашей олимпиады:

Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от диагонали куба треть.

Эта формулировка уже требует определенных умственных усилий при чтении. Теперь посмотрим, что с этой задачей творит С.Барр в своей книге «Россыпи головоломок»:

Какие две плоскости, проходящие через ребра и (или) вершины куба, делят одно из его измерений на три равные части? Доказательство должно быть максимально коротким (Sic!—С.А.), а вспомогательный рисунок должен изображать куб (прозрачный, если необходимо) не более чем с тремя дополнительными линиями. Куб можно изображать под любым удобным для вас углом. Чтобы объяснить рисунок, вы можете начертить вспомогательную схему, но при доказательстве должны ссылаться только на исходный рисунок.

6. С.Барр (и многие другие) забывают правило: в математике достаточно естественных трудностей, чтобы выдумывать искусственные. Поэтому мы считаем неприемлемыми, например, формулировки типа: «доказать, не используя скалярное произведение». Другое дело — подвохи, незаметные при первом чтении и выявляемые только очень внимательным решателем:

      Сколько решений имеет уравнение x2=1,001x?

      О понятии «олимпиадная задача» автор может говорить еще долго, но боится наскучить читателю.

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 33 comments